数学

我们都知道$\pi=3.14159265359\dots$是圆的周长与其直径的比值。但如果改变“长度”的定义，圆周率还会保持不变吗？ 当长度不再是长度在二维欧氏空间$\mathbb{R}^n$中，向量$\vec{x}=(x_1,x_2,\dots,x_n)$的长度为 $$ | \vec{x} | = \sqrt{x_

在阳光或灯光下的马克杯里，常常会出现心形的亮斑。 很久以前就想探究一下这个问题，最近又看到了这个现象，于是去查了一下。 结果自然是标准结局：早就被人研究过了。 在解释这个现象之前，先来看一些看似完全无关的其他现象吧。 1 乘法表接下来我们要制作一个环形的“乘法表”。 设$n,m$为正整数，$n$是数字的个数，$m$是乘数。这里我们取$n=12$和$m=3$。现在我们将$0$到$n-1$

前言提起欧拉（Leonhard Euler，1707-1783）最广为人知的发现，莫过于欧拉恒等式（Euler’s identity）： $$ e^{i\pi} + 1 = 0 $$ 它将将自然对数的底$e$、圆周率$\pi$、虚数单位$i$、$0$与$1$以一种出人意料的方式联系在一起。它来自于欧拉公式（Euler’s formula）： $$ e^{ix}

问题 如图所示，在一个正方形的四个顶点上各有一只老鼠，每一只老鼠始终以相同速度向位于它逆时针方向相邻的老鼠移动。求： 在合适的坐标系下老鼠移动轨迹的方程； 老鼠移动的路程。 解法一 为了求出点的轨迹方程，以正方形的中心为极点建立极坐标系，其极轴方向平行于正方形的任意一边。设正方形的边长为$a$。我们以右上角顶点$A$处的老鼠作为研究对象。 在极坐标系中，分别设右上角顶点$A$、左上角顶点$B$的坐标为 \[A(r,\theta), B (r,\theta+\frac{\pi}