前言

提起欧拉(Leonhard Euler,1707-1783)最广为人知的发现,莫过于欧拉恒等式(Euler’s identity)
$$ e^{i\pi} + 1 = 0 $$
它将将自然对数的底$e$、圆周率$\pi$、虚数单位$i$、$0$与$1$以一种出人意料的方式联系在一起。它来自于欧拉公式(Euler’s formula)
$$ e^{ix} = \cos x + i \sin x $$
如果打开任意一篇题为《世界上最美的10个数学公式》的文章,其中几乎一定会有欧拉恒等式或欧拉公式出现。遗憾的是,它们并非本文的话题。

除了上文提到的欧拉公式外,还有一条相对没有那么出名的公式也常常被称为欧拉公式。为避免混淆,本文将其称作欧拉多面体公式(Euler’s polyhedron formula)
$$ V - E + F = 2 $$
其中,$V$为任意**凸多面体(convex polyhedron)**的顶点数,$E$为棱数,$F$为面数。恰巧,继$0$、$1$之后,下一个自然数$2$也在此出现了。

实际上,欧拉多面体公式的左手边是一个可用于描述任意多面体表面的量,称为欧拉示性数(Euler characteristic),记作$\chi$。对任意多面体表面
$$ \chi = V - E + F $$
例如,对所有五个柏拉图体(即正多面体),欧拉多面体公式都是成立的:

正四面体 正方体 正八面体
V 4 8 6
E 6 12 12
F 4 6 8
χ 2 2 2
正十二面体 正二十面体
V 20 12
E 30 30
F 12 20
χ 2 2

但是,为什么只有凸多面体才适用这条公式?这就要从拓扑学(topology)谈起了。

甜甜圈与咖啡杯

「topology」一词中的「topo-」意为位置,「拓扑」则是对应的音译。拓扑学主要研究不同空间在连续变换下不变的量,属于几何学,但又与一般的几何学有着根本性的不同。如果说一般的几何学研究的对象都是形状固定的刚体,拓扑学研究的则是可以随意改变形状的弹性橡皮膜。它只关注空间的结构,而并不在乎具体的形式。

有这样一个经典的笑话:「拓扑学家是那些分不清甜甜圈与咖啡杯的人。」原因在于,这两者的表面是同胚的——也就是在拓扑意义上具有一种等价。[1]直观上,两者的共同点在于它们都有且只有一个「孔」,即杯柄中间的洞与甜甜圈中间的洞;用数学语言来讲,这两者的表面是同胚的,它们的亏格(genus)都是1。[2]同胚意味着,可以由其中一个经过拉伸(一种连续变换)得到另一者。

甜甜圈与马克杯是同胚的。图自Wikimedia Commons,属于公有领域。

欧拉示性数是一个拓扑不变量,这意味着一个曲面在经过连续变换后,其欧拉示性数保持不变。由于所有凸多面体均同胚,它们的欧拉示性数$\chi$自然是一个常数。而在上文甜甜圈与马克杯的例子中,两者的欧拉示性数都为0。这个数由以下公式[3]给出:

$$ \chi = 2 - 2g $$

其中$g$为曲面的亏格。

证明

欧拉多面体公式的证明众多,此处只列举两种,分别由勒让德与柯西给出。

勒让德的证明

1794年,勒让德(Adrien-Marie Legendre)在《几何的元素》(Élements de géométrie)一书中给出了欧拉多面体公式的证明。其主要利用了球面三角学的结论,构造简洁优美,令人叹服。

引理1 任意球面三角形[4]的面积为

$$ S = A + B + C - \pi $$

其中A、B、C分别为球面三角形的三个角。证明不在此阐述,通过比例关系与面积加减即可得到。

引理2 任意球面多边形[5]的面积为

$$ S = (A_1 + A_2 + ... + A_n) - n \pi + 2 \pi $$

其中$A_i(i=1, 2, ..., n)$为球面多边形的第$i$个角,$n$为球面多边形的边数。由引理1即可推导而得。

证明 考虑任意一个凸多面体,取其内一点,以该点为投影中心与球心,通过球极投影(stereographic projection)将该多面体投影至单位球面上。

将多面体的投影看作球面多面体,显然其拓扑结构与原多面体相同,则其欧拉示性数不变,于是只需证明该多面体的欧拉示性数满足欧拉多面体公式。

借助引理2计算各球面多边形的面积,相加后即为单位球面的面积($4\pi$),得到等式

$$ 2 \pi V - 2 \pi E + 2 \pi F = 4\pi $$

两边同时除以$2\pi$即得

$$ V - E + F = 2 $$

证毕。

柯西的证明

之后,在1811年,柯西(Augustin-Louis Cauchy)也给出了一个截然不同的证明。他所用到的工具是图论(graph theory)以及三角剖分。

考虑将一个凸多面体「压扁」成一个图。对于图,同样可以定义顶点数V、边数E、面数F,以及欧拉示性数$\chi$。需要留意的是,在压扁的过程中丢失了一个面,即轮廓之外的区域。因此,只需要证明这个图满足
$$ V - E + F = 1$$

下一步,给图中所有非三角形的多边形添加对角线,直到图中所有多边形均为三角形。每添加一条对角线将一个面一分为二,$E$增加1,$F$也增加1,但$\chi$保持不变。

接下来,重复以下步骤:通过去除一条或两条边,每次去除一个面,直到只剩下一个三角形为止。通过类似的方法也可以验证这一操作不会改变$\chi$。

对于一个三角形,

$$ \chi = V - E + F = 3 - 3 + 1 = 1 $$

由于以上操作均不改变$\chi$,因此最初的图的欧拉示性数也为1,即凸多面体的欧拉示性数为2,证毕。

庞加莱猜想

法国数学家庞加莱(Jules Henri Poincaré)也是拓扑学的创始人之一,在拓扑学领域有着重大贡献。1904年,他提出了一个猜想,后来被称作庞加莱猜想:「任一单连通的、封闭的三维流形与三维球面同胚。」注意其中的「三维球面(3-sphere)」并非普通的球面(二维球面)。

这一猜想的一维、二维版本早年已得到证明。事实上,前文所提到的凸多面体的表面都与二维球面同胚。它后来被作为克莱数学研究所提出的千禧年难题之一,久久未能被攻克。

2006年,俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼给出了一个庞加莱猜想的证明,经过其他人补全证明,成功证明了庞加莱猜想。同年,他获得了有「数学界的诺贝尔奖」之称的菲尔兹奖,但拒绝了领奖,也是至今唯一一个拒绝领奖的菲尔兹奖获得者。

推荐书目

  • Euler’s Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology, D.S.Richeson
  • Twenty Proofs of Euler's Formula, David Eppstein
  • 庞加莱猜想:追寻宇宙的形状,春日真人

这里的主语为它们的表面,即曲面(二维流形),并非它们本身(三维流形)。 ↩︎

严格上讲,一个曲面的亏格等于「孔数」这种直观的定义只适用于闭可定向曲面。 ↩︎

同样地,该公式只适用于闭可定向曲面。 ↩︎

其三条边由大圆弧构成。 ↩︎

准确来讲,应为测地(geodesic)球面多边形,其各边由大圆弧组成。 ↩︎