数学

动点与对数螺线

Weiheng Pan

May 1, 2016 • 8 min read

问题

如图所示，在一个正方形的四个顶点上各有一只老鼠，每一只老鼠始终以相同速度向位于它逆时针方向相邻的老鼠移动。求：

在合适的坐标系下老鼠移动轨迹的方程；
老鼠移动的路程。

解法一

为了求出点的轨迹方程，以正方形的中心为极点建立极坐标系，其极轴方向平行于正方形的任意一边。设正方形的边长为$a$。我们以右上角顶点$A$处的老鼠作为研究对象。

在极坐标系中，分别设右上角顶点$A$、左上角顶点$B$的坐标为
\[A(r,\theta), B (r,\theta+\frac{\pi}{4})\]

则其对应的直角坐标分别为
\[(rcos \theta,rsin \theta)\]

与
\[(-rsin\theta,rcos\theta)\]

两点连线的斜率为
\[\begin{align}
m& =\frac{rcos\theta-rsin\theta}{-rsin\theta-rcos\theta}\\
& =\frac{sin\theta-cos\theta}{sin\theta+cos\theta}\\
& =\frac{tan\theta-1}{tan\theta+1}
\end{align}\]

由于A点处的老鼠的速度方向指向B点处的老鼠，因此

\[\begin{align}
m & = \frac{dy}{dx} \\
& =\frac{\frac{dr}{d\theta}sin\theta+rcos\theta}{\frac{dr}{d\theta}cos\theta-sin\theta}\\
& = \frac{\frac{dr}{d\theta}tan\theta+r}{\frac{dr}{d\theta}-rtan\theta}
\end{align}\]

为了形式上的简明，记$r'=\frac{dr}{d\theta}$，合并等式后有

\[
\frac{tan\theta-1}{tan\theta+1}=\frac{r'tan\theta+r}{r'-rtan\theta}
\]

交叉相乘后整理得

\[
r'(1+tan^{2\theta)=-r(1+tan}2\theta)
\]

即

\[
r'=-r
\]

此微分方程有以下通解：

\[
r(\theta)=Ce^{-\theta}
\]

代入$A(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\pi}{4})$得

\[
r(\frac{\pi}{4})=\frac{1}{2}\sqrt{2}a
\]

解得

\[
C=\frac{\sqrt{2}}{2}ae^{\pi/4}
\]

所以A点处老鼠在极坐标下的轨迹方程为：

\[
r(\theta)=\frac{a\sqrt{2}}{2}e^{\pi/4-\theta}
\]

这是一条对数螺线。

同理可得A、B、C、D的轨迹方程分别为：

\[
r(\theta)=\frac{a\sqrt{2}}{2}e^{\alpha-\theta},\\
\alpha=\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4}
\]

老鼠移动的距离$L$可用极坐标下的弧长积分求解。由于图形的旋转对称性，四只老鼠移动的路程相等，此处以A点处的老鼠为例：

\[\begin{align}
L & = \int_{\pi/4}^{ + \infty } {\sqrt{r^{2+(\frac{dr}{d\theta})}2}d\theta} \\
& = \int_{\pi/4}^{ + \infty } {\sqrt{a^2e{\pi/2-2\theta}}d\theta} \\
& = \int_{\pi/4}^{ + \infty } {ae^{\pi/4-\theta}d\theta} \\
& = -a \cdot e^{{\pi/4-\theta}|_{\pi/4}}{+\infty}\\
& = -a(0-1)\\
& = a
\end{align}\]

在上面的第一次变形中，用到了以下已知等式：

\[
(\frac{dr}{d\theta})^2=(-r)2=r^2=\frac{a2}{2}e^{\pi/2-2\theta}
\]

即老鼠移动的路程恰好等于正方形的边长。

这是我认为最漂亮严谨的一种解法。该解法来自UC Berkeley的课程《Math 53》中一道课后习题的解答，基本按照原文翻译，部分有改动，添加了一些细节。

（并不十分严谨的）解法二####

显然，直接尝试画出老鼠移动的轨迹不现实——它的速度方向随时都在变化，这也是为什么上面的常规解法需要用到微积分来处理轨迹方程。

为了简化过程，我们考虑这个连续过程的离散近似情况：在老鼠运动的总时间$t_0$中，老鼠每过一小段时间$\frac{t_0}{n}(n>0)$才改变一次方向。当$n\rightarrow \infty$时，就是题目中的实际情况。

$n=100$ 时的过程。

考虑到$\theta$不随$t$线性变化，我们换一种设法：在运动过程中，$\theta$每改变一个小角度$\theta_0=\frac{2\pi}{n}$，老鼠才改变一次方向。同样，当$n\rightarrow \infty$时，就是题目中的实际情况。

下面以$n=16$的情况作图。以极点为起点，$\frac{2\pi}{n}$为间隔，作$n$条射线，交运动轨迹于无数个点$P_i,i=1,2,...$。

留意到，由于图形的旋转对称性，因此老鼠每次运动方向的角度改变量$\alpha$是不变的，且$\alpha=\theta_0$，如图所示。

接下来证明这些点恰位于唯一的同一条对数螺线上。

引理1 对于一条对数螺线$C$上的任意一点$P$，P点与极点的连线$OP$的方向和过P点切线的夹角恒定。

在图中，$\angle P_1OP_2=\angle P_2OP_3=\alpha$，在$\triangle P_1OP_2$中，
\[
\alpha+\gamma=\alpha+\beta
\]
当$n\rightarrow \infty$时，$\overrightarrow{P_1 P_2}$就是老鼠在$P_2$点处的速度方向，即轨迹曲线在此处的切线方向。由上面的等式可以得知，对于老鼠运动轨迹上的任意一点$P$，P点与极点的连线$OP$的方向和过P点切线的夹角恒定。

结论1 老鼠运动的轨迹是一条对数螺线。

接下来求对数螺线的方程。

引理2 对于方程为$r=ae^{b\theta}$的对数螺线，设其上的任意一点与极点的连线的方向和过该点切线的夹角为$\theta$，则$b=cot\theta$。

取正方形右上角顶点为研究对象，则$\theta=\frac{\pi}{4}$，所以$b=cot\frac{\pi}{4}=1$。

代入右上角顶点的极坐标$(\frac{\sqrt{2}}{2}a,\frac{\pi}{4})$，解得

\[
r=\frac{a\sqrt{2}}{2}e^{\pi/4-\theta}
\]

结论2 老鼠运动的轨迹方程为$r=\frac{a\sqrt{2}}{2}e^{\pi/4-\theta}$

其余四点同理。