数学

logistic映射：人口增长、混沌与一个奇特译名

Weiheng Pan

Jan 12, 2017 • 7 min read

课本上的回忆

在人教版生物必修3《稳态与环境》关于种群的一节中提到过两种描述种群个体数量增长的模型，分别是指数增长的「J」型曲线与
有环境容纳量（K值）的「S」型曲线，但课本并未给出后者的具体解析式，只是笼统地概括了其特点。在一些参考书上，则进一步描述了其增长速率特征，即在个体数量为K/2时增长速率最大。

就在这个看似简单的模型背后，藏着许多令人诧异的现象。

有限的人口增长

logistic映射是一种离散递推关系，定义为

\[
x_{n+1} = rx_{n}(1-x_n)
\]

其中，$x_{n}$ 为个体数量，$n$为时间，r为一个由增长率决定的参数，会对曲线形状有着极大的影响。

实际上，「S型曲线」正是logistic映射（logistic map）的一种特殊情况。课本上的「S」型曲线为r=1时连续化的情况，即logistic函数（logistic function）的标准形式：

\[
f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}
\]

由于

\[
1-f(x)=f(-x)
\]

所以其图象关于点$(0,\frac{1}{2})$对称，且其导函数

\[
\frac{d}{dx}f(x)=\frac{e^{-x}}{(1+e{-x})^2}
\]

为偶函数，且当且仅当$x=0$时有最大值，也就是「K/2时增长最快」的由来。

1838年，皮埃尔·弗朗索瓦·韦吕勒（Pierre François Verhulst）发表了一个用于描述人口增长的模型。在这个模型中，人口的增长率同时与现有人口和可用资源成正比。随着人口的逐渐增长，可用资源将逐渐枯竭，导致增长率逐渐降低，最终人口会趋近于一个定值。
1911年，A. G. McKendrick重新发现了这个模型中的方程，并验证了其对于描述高汤中细菌数量增长的准确性。此后，这个方程又曾数次被重新发现与改进。它的形式很简洁，为

\[
\frac{dP}{dt}=rP(1-\frac{P}{K})
\]

其中，$P$为人口数量，$t$为时间，$r$为增长率，$K$为环境容纳量。
这是一个常微分方程。令$P_0$为初始人口数量，解得

\[
P(t)=\frac{KP_0 e^{{rt}}{K+P_0(e}{rt}-1)}
\]

这意味着

\[
\lim_{t\to\infty} P(t)=K
\]

可以看出其形式与前文定义的logistic函数是类似的。

在其它领域，logistic映射也有着广泛的用途。在医学上，肿瘤的生长速率可以用它来描述；在化学中，自催化反应（生成物为反应催化剂，如过氧化氢与铁单质的反应）中生成物浓度随时间的变化也符合这种规律；在统计与机器学习领域，同样会用它来拟合数据分布、进行回归分析。

简单而混沌

之前提到，参数r决定了曲线的形状，实则远远不止如此：这个看似简单的递推关系，在某些r值时竟然会具有混沌（chaos）的特征。所谓混沌，即是一种具有一定随机性的、难以预测的行为，「蝴蝶效应」便是最著名的例子。

随着r的变化，系统会由收敛变为幅度逐渐衰减的振荡，再变为幅度恒定的单周期振荡，再是2、4、8、16、32...周期振荡，最后呈现出完全无法预测的混沌行为。

借助以上的分叉图，分析会变得直观许多：

$r$=2.9，单周期振荡开始。
$r$=3.0，双周期振荡开始。
$r$介于3.4与3.5之间时，四周期振荡。
$r$介于3.4与3.569946之间时，周期倍增越来越快。
$r$=3.569946，混沌开始。

一个如此简单的系统，竟能呈现出如此复杂的行为；即便通过确定的一些条件，有些问题也是难以预测的。但在这混沌之中，也许存在着一些规律。
再分析一下周期倍增的r值，其中下标为$2^{n-1}$周期振荡时r的值：

$r/_1$=3.0
$r/_2$=3.44949
$r/_3$=3.54409
$r/_4$=3.564407
$r/_5$=3.568758
$r/_6$=3.569692
$r/_7$=3.569891
$r/_8$=3.569934
…

二十世纪七十年代，物理学家费根鲍姆计算了周期出现速率的增长倍数，惊奇地发现这是一个定值，约等于4.6692016，这后来被命名为费根鲍姆常数，它同样也出现在其它的一些混沌系统中。
由此可见，混沌并不是完全的随机，其中也是存在着一些规律的。

关于「logistic」一词的译名

目前，在大多数有关logistic映射的中文文献与网页中，均将其译为「逻辑斯蒂映射」，包括近日读到的《复杂》一书；在中文维基百科上，logistic map被译作「单峰映象」，logistic function则成了「逻辑函数」；而我个人最初是在英文维基百科上读有关混沌的条目的时发现的logistic map，后来才在某堂生物课上听到Y老师说「逻辑斯蒂映射」。但无论是「逻辑斯蒂」还是「逻辑」，实际上都与logistic一词的原意相去甚远。

最初，logistic一词来自于法语logistique，即法国人韦吕勒最初的命名。

韦吕勒写道，「我们会将这种曲线命名为logistic^[1]」。尽管他并未解释这样起名的原因，但显然这个名字与函数解析式中的对数成分^[2]有关。

对数（logarithm）一词来自于希腊语logos（比例、计算）与arithmos（数字），由约翰·纳皮尔创造。而logistic也来自希腊语中的logistikos（有关计算的）。在1700年代，logarithm与logistic是同义的。

之后，由于估计军队物资供应需要计算，logistics（后勤、物流）一词拥有了移动、补给部队的含义。

可以看出，logistic一词此处指代的是「对数」或是「计算」，而与「逻辑」没有任何关系。我没有去查找「逻辑斯蒂」一词的译者，他在翻译时是极其不负责任的。

从另一个角度考虑，logistic map暂时也没有好的译名，其缘由无非二者：一，若将「对数映射」或「计算映射」作为其译名，则过于笼统；二，由于创造时年代久远，原词的含义已发生较大变化，在现在看来原语言中的词义也显得模糊不清。中文维基百科中的「单峰映象」一词则描述了其图象形状，算是一种折衷的办法，但也有宽泛的问题。

我个人的建议是，保留logistic的英文拼写或原语言法语的logistique，「逻辑斯蒂」这种强行意译、实则音译的译名我实在是接受不了。

顺带一提，动力系统（dynamical system）也是一个非常糟糕的译名，听着像是工程领域的名词，其实与微分方程组有关，译为「动态系统」会好得多。

参考文献

梅拉妮·米歇尔《复杂》（Complexity: A Guided Tour）
https://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_map
https://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_function
http://rasch.org/rmt/rmt64k.htm

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