前言

提起欧拉（Leonhard Euler，1707-1783）最广为人知的发现，莫过于欧拉恒等式（Euler’s identity）：
$$ e^{i\pi} + 1 = 0 $$
它将将自然对数的底$e$、圆周率$\pi$、虚数单位$i$、$0$与$1$以一种出人意料的方式联系在一起。它来自于欧拉公式（Euler’s formula）：
$$ e^{ix} = \cos x + i \sin x $$
如果打开任意一篇题为《世界上最美的10个数学公式》的文章，其中几乎一定会有欧拉恒等式或欧拉公式出现。遗憾的是，它们并非本文的话题。

除了上文提到的欧拉公式外，还有一条相对没有那么出名的公式也常常被称为欧拉公式。为避免混淆，本文将其称作欧拉多面体公式（Euler’s polyhedron formula）：
$$ V - E + F = 2 $$
其中，$V$为任意**凸多面体（convex polyhedron）**的顶点数，$E$为棱数，$F$为面数。恰巧，继$0$、$1$之后，下一个自然数$2$也在此出现了。

实际上，欧拉多面体公式的左手边是一个可用于描述任意多面体表面的量，称为欧拉示性数（Euler characteristic），记作$\chi$。对任意多面体表面
$$ \chi = V - E + F $$
例如，对所有五个柏拉图体（即正多面体），欧拉多面体公式都是成立的：

	正四面体	正方体	正八面体
V	4	8	6
E	6	12	12
F	4	6	8
χ	2	2	2

	正十二面体	正二十面体
V	20	12
E	30	30
F	12	20
χ	2	2

但是，为什么只有凸多面体才适用这条公式？这就要从拓扑学（topology）谈起了。

甜甜圈与咖啡杯

「topology」一词中的「topo-」意为位置，「拓扑」则是对应的音译。拓扑学主要研究不同空间在连续变换下不变的量，属于几何学，但又与一般的几何学有着根本性的不同。如果说一般的几何学研究的对象都是形状固定的刚体，拓扑学研究的则是可以随意改变形状的弹性橡皮膜。它只关注空间的结构，而并不在乎具体的形式。

有这样一个经典的笑话：「拓扑学家是那些分不清甜甜圈与咖啡杯的人。」原因在于，这两者的表面是同胚的——也就是在拓扑意义上具有一种等价。^[1]直观上，两者的共同点在于它们都有且只有一个「孔」，即杯柄中间的洞与甜甜圈中间的洞；用数学语言来讲，这两者的表面是同胚的，它们的亏格（genus）都是1。^[2]同胚意味着，可以由其中一个经过拉伸（一种连续变换）得到另一者。

欧拉示性数是一个拓扑不变量，这意味着一个曲面在经过连续变换后，其欧拉示性数保持不变。由于所有凸多面体均同胚，它们的欧拉示性数$\chi$自然是一个常数。而在上文甜甜圈与马克杯的例子中，两者的欧拉示性数都为0。这个数由以下公式^[3]给出：

$$ \chi = 2 - 2g $$

其中$g$为曲面的亏格。

证明

欧拉多面体公式的证明众多，此处只列举两种，分别由勒让德与柯西给出。

勒让德的证明

1794年，勒让德（Adrien-Marie Legendre）在《几何的元素》（Élements de géométrie）一书中给出了欧拉多面体公式的证明。其主要利用了球面三角学的结论，构造简洁优美，令人叹服。

引理1 任意球面三角形^[4]的面积为

$$ S = A + B + C - \pi $$

其中A、B、C分别为球面三角形的三个角。证明不在此阐述，通过比例关系与面积加减即可得到。

引理2 任意球面多边形^[5]的面积为

$$ S = (A_1 + A_2 + ... + A_n) - n \pi + 2 \pi $$

其中$A_i(i=1, 2, ..., n)$为球面多边形的第$i$个角，$n$为球面多边形的边数。由引理1即可推导而得。

证明考虑任意一个凸多面体，取其内一点，以该点为投影中心与球心，通过球极投影（stereographic projection）将该多面体投影至单位球面上。

将多面体的投影看作球面多面体，显然其拓扑结构与原多面体相同，则其欧拉示性数不变，于是只需证明该多面体的欧拉示性数满足欧拉多面体公式。

借助引理2计算各球面多边形的面积，相加后即为单位球面的面积（$4\pi$），得到等式

$$ 2 \pi V - 2 \pi E + 2 \pi F = 4\pi $$

两边同时除以$2\pi$即得

$$ V - E + F = 2 $$

证毕。

柯西的证明

之后，在1811年，柯西（Augustin-Louis Cauchy）也给出了一个截然不同的证明。他所用到的工具是图论（graph theory）以及三角剖分。

考虑将一个凸多面体「压扁」成一个图。对于图，同样可以定义顶点数V、边数E、面数F，以及欧拉示性数$\chi$。需要留意的是，在压扁的过程中丢失了一个面，即轮廓之外的区域。因此，只需要证明这个图满足
$$ V - E + F = 1$$

下一步，给图中所有非三角形的多边形添加对角线，直到图中所有多边形均为三角形。每添加一条对角线将一个面一分为二，$E$增加1，$F$也增加1，但$\chi$保持不变。

接下来，重复以下步骤：通过去除一条或两条边，每次去除一个面，直到只剩下一个三角形为止。通过类似的方法也可以验证这一操作不会改变$\chi$。

对于一个三角形，

$$ \chi = V - E + F = 3 - 3 + 1 = 1 $$

由于以上操作均不改变$\chi$，因此最初的图的欧拉示性数也为1，即凸多面体的欧拉示性数为2，证毕。

庞加莱猜想

法国数学家庞加莱（Jules Henri Poincaré）也是拓扑学的创始人之一，在拓扑学领域有着重大贡献。1904年，他提出了一个猜想，后来被称作庞加莱猜想：「任一单连通的、封闭的三维流形与三维球面同胚。」注意其中的「三维球面（3-sphere）」并非普通的球面（二维球面）。

这一猜想的一维、二维版本早年已得到证明。事实上，前文所提到的凸多面体的表面都与二维球面同胚。它后来被作为克莱数学研究所提出的千禧年难题之一，久久未能被攻克。

2006年，俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼给出了一个庞加莱猜想的证明，经过其他人补全证明，成功证明了庞加莱猜想。同年，他获得了有「数学界的诺贝尔奖」之称的菲尔兹奖，但拒绝了领奖，也是至今唯一一个拒绝领奖的菲尔兹奖获得者。

欧拉的宝石

前言

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证明

勒让德的证明

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庞加莱猜想

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